Urodził się 13 sierpnia 1945 r. w Bobrówce w archidiecezji białostockiej. W wieku osiemnastu lat spędził trzy miesiące w Centralnym Więzieniu Karno-Śledczym w Białymstoku za udział w nielegalnej organizacji i oblanie farbą plakatu propagandowego.
W 1964 r. rozpoczął studia w białostockim Seminarium Duchownym, skąd w trzecim roku nauki powołano go na dwa lata do wojska. Przez rok służył w kompanii kleryckiej w 32. Budziszyńskim Pułku Zmechanizowanym w Kołobrzegu oraz rok w Mazurskiej Brygadzie Saperów w Podjuchach koło Szczecina. Miał specjalizację sapera pontoniera.
Święcenia kapłańskie otrzymał 14 czerwca 1970 r. z rąk bp. Henryka Gulbinowicza, po czym pracował duszpastersko w Szudziałowie na Białostocczyźnie i wśród Polonii w Paryżu, gdzie studiował na Wydziale Prawa Kanonicznego tamtejszego Instytutu Katolickiego. Przez dwa lata kontynuował studia w Katolickim Uniwersytecie Lubelskim, po czym wyjechał do Rzymu, gdzie doktoryzował się w Papieskim Instytucie Wschodnim w zakresie wschodniego prawa kanonicznego.
W 1980 r. był pracownikiem nadzwyczajnego Synodu Biskupów w Rzymie, potem zaś krótko pracował w Kurii Arcybiskupiej i Sądzie Arcybiskupim w Białymstoku, był też dyrektorem studium katechetycznego i kapelanem "Solidarności" Regionu Białystok. W 1981 r. rozpoczął pracę w Watykanie.
W 1984 r. otrzymał godność prałata.

21 stycznia 1991 r.  ks. prałat Głódź został mianowany przez Ojca Świętego biskupem polowym Wojska Polskiego, z siedzibą tytularną w Bettonie we Włoszech. 23 lutego tegoż roku w bazylice jasnogórskiej przyjął święcenia biskupie z rąk kard. Józefa Glempa, a dzień później odbył - z ceremoniałem wojskowym - uroczysty ingres do katedry polowej w Warszawie.
Abp Głódź jest członkiem Rady Stałej Konferencji Episkopatu Polski. Stoi również na czele Rady ds. Środków Społecznego Przekazu, a także Zespołu ds. Duszpasterskiej Troski o Radio Maryja. Wchodzi też w skład Komisji ds. Polonii i Polaków za granicą, Rady ds. Społecznych oraz Zespołu ds. Kontaktów z Konferencją Episkopatu Francji. Jest również delegatem Konferencji Episkopatu Polski do opieki duszpasterskiej nad harcerzami i kombatantami. Patronuje też honorowym krwiodawcom.

W 2004 roku Sławoj Leszek Głódź został biskupem Praskim.